4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón

SERIES NUM´ERICAS.

1. Convergencia.

Si {an} es una sucesi´on de n´umeros reales, se define la serie de t´ermino general an y

se escribe

P∞

n=1

an como:

∞X

n=1

an = lim (a1 + · · · + an).

Si este l´ımite de la n-´esima suma parcial a1 + · · · + an es finito, se dice que la serie es

convergente; si es infinito o no existe, que es divergente.

2. Convergencia absoluta.

Se dice que la serie

P

an es absolutamente convergente si la serie

P

|an| es convergente.

Toda serie absolutamente convergente es convergente.

Si una serie es absolutamente convergente, entonces cualquier reordenaci´on suya tambi´en lo es y tiene el mismo valor.

Se dice que una serie es condicionalmente convergente si es convergente, pero no

absolutamente convergente.

3. Propiedades.

• El car´acter (convergente o divergente) de una serie no cambia si se modifica un

n´umero finito de sus t´erminos.

• Para que la serie

P

an converja es necesario que lim an = 0.

• Si las series

P

an y

P

bn convergen, entonces:

P

an + bn y

P

λan, con λ ∈ R,

tambi´en, teni´endose:

X

(an + bn) =

X

an +

X

bn y

X

λan = λ

X

an.

4. Series geom´etricas y arm´onicas.

• Las series geom´etricas

P

r

n

convergen si |r| < 1 y divergen en caso contrario.

• Las series arm´onicas

P 1

nα

convergen si α > 1 y divergen en caso contrario.

5. Criterios de convergencia para series de t´erminos positivos.

• de comparaci´on:

Si a partir de un cierto lugar an ≤ k bn (resp. an ≥ k bn) y

P

bn converge (resp.

diverge), entonces

P

an tambi´en.

Si lim

an

bn

∈ R \ {0}, entonces

P

an y

P

bn tienen el mismo car´acter.

• del cociente:

Si lim

an+1

an

< 1 (resp. > 1), entonces

P

an converge (resp. diverge).

Typeset by AMS-TEX

12

• de Raabe (cuando lim

an+1

an

= 1):

Si lim n

1 −

an+1

an

> 1 (resp. < 1), entonces

P

an converge (resp. diverge).

• de la ra´ız:

Si lim n

√

an

< 1 (resp. > 1), entonces

P

an converge (resp. diverge).

• de condensaci´on:

Si {an} es decreciente, entonces

P

an y

P

2

n

a2n tienen el mismo car´acter.

6. Series alternadas.

Son las de la forma

P

(−1)

n

an o

P

(−1)

n+1

an, donde an > 0 ∀n ∈ N.

Criterio de Leibnitz: ”Si {an} es una sucesi´on decreciente y tiende a 0, entonces la

serie alternada converge”.

Adem´as, si s es el valor de una serie alternada y sn su n-´esima suma parcial, entonces:

|s − sn| ≤ an+1.