viernes, 1 de julio de 2011

3.1 AREAS

areas

área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.





3.1 áreas bajo la gráfica de una función

Definición de integral definida. Área bajo la gráfica de una función
Sea una función continua en el intervalo , tal que toma solo valores NO negativos en dicho intervalo ( ).

Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones y , la grafica de la función y el eje X? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:

Este area es el valor de la integral entre y de y la denotamos por:

Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).

Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ).

Dividimos el intervalo en intervalos de la misma longitud . Los limites de estos intervalos mas pequeños son:

donde .

Para contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo y cuya altura es de longitud .

Haciendo esto para , terminamos con rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de que queremos calcular.

En general, cuanto mayor sea mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a .

Así, cuando :

uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo :
Llamemos a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:

Es decir, tiende a cuando el número de rectangulos, , tiende a infinito.

En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función toma valores NO negativos en el intervalo . ¿Que pasaría si tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso, ¿como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones y , la grafica de la función y el eje X?

Casi todo lo dicho con anterioridad para el caso seria aplicable al caso , pero ahora:

y el area sobre la grafica de la función es

siendo la integral definida NO positiva porque .

3.2 longitud de curva
Longitud de curvas planas
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.
Definición:
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.

Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)2=(dx)2+(dy)2, de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta:
Definición:
Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:

3.3 calculo de volúmenes de sólidos en revolucion



3.4 calculo de centroides

CENTROIDES El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo, el centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actúan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas, por ejemplo el centroide nos ayudaría a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de un puente
Se consideran tres casos específicos:
VOLUMEN. Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son:
X = “ x dv Y = “ y dv Z = “ z dv
“ dv “ dv “ dv
AREA. De manera semejante, el centroide para el area superficial de un boleto, como una planca o un casco puede encontrase subdividiendo el area en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de area en torno a los ejes de coordenadas a saber.
X = “ x dA Y = “ y dA Z = “ z dA
“ dvA “ dA “ dA
LINEA. Si la geomentria del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una linea, la manera de encontrar su centoide es el siguiente:
X = “ x dL Y = “ y dL Z = “ z dL
“ dL “ dL “ dL