4.1 Series

4.1 Definición de series 

4.1.1 Finita 

En matemática, un conjunto finito es un conjunto que tiene un número finito de elementos. Por ejemplo {2, 4, 6, 8, 10} es un conjunto finito con cinco elementos. La cardinalidad o número de elementos de un conjunto finito es igual a un número natural.

Si un conjunto no es finito, entonces es infinito. Por ejemplo, el conjunto N = {1, 2, 3, ...} de los números naturales es infinito. Todo conjunto finito es un conjunto numerable, puesto que sus elementos pueden contarse, pero la recíproca es falsa: existen conjuntos infinitos y numerables (como el propio N).

Los conjuntos finitos son particularmente importantes en combinatoria.

Un conjunto finito A es aquel que puede ponerse en correspondencia biunívoca con el conjunto {1, 2, ..., n} para algún número natural n.

Que pueda establecerse una correspondencia biunívoca significa que los elementos de A y los de {1, 2, ..., n} pueden emparejarse uno a uno, sin que sobre ningún elemento de ninguno de los dos conjuntos. Al número n se le denomina el cardinal de A (o su cardinalidad, su potencia, etc.), y se denota por card(A), |A| o #A. El conjunto vacío ∅ no tiene elementos, |∅| = 0, por lo que también es finito.

La definición de conjunto finito en teoría axiomática de conjuntos presenta algunas sutilezas (véase Conjunto infinito).

4.1.2 Infinita 

El concepto de infinito aparece en varias ramas de la filosofía,¹ la matemática y la astronomía,² en referencia a una cantidad sin límite o final, contrapuesto al concepto de finitud.³

En matématicas el infinito aparece de diversas formas: en geometría, el punto al infinito en geometría proyectiva y el punto de fuga en geometría descriptiva; en análisis matemático, los límites infinitos, olímites al infinito; y en teoría de conjuntos como números transfinitos.

Los conjuntos finitos tienen una propiedad "intuitiva" que los caracteriza; dada una parte propia de los mismos, ésta contiene un número de elementos menor que todo el conjunto. Es decir, no puede establecerse una biyección entre una parte propia del conjunto finito y todo el conjunto. Sin embargo, esa propiedad "intuitiva" de los conjuntos finitos no la tienen los conjuntos infinitos, y formalmente decimos que:

Un conjunto  es infinito si existe un subconjunto propio  de , es decir, un subconjunto  tal que , tal que existe una biyección  entre  y .

4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón

SERIES NUM´ERICAS.

1. Convergencia.

Si {an} es una sucesi´on de n´umeros reales, se define la serie de t´ermino general an y

se escribe

P∞

n=1

an como:

∞X

n=1

an = lim (a1 + · · · + an).

Si este l´ımite de la n-´esima suma parcial a1 + · · · + an es finito, se dice que la serie es

convergente; si es infinito o no existe, que es divergente.

2. Convergencia absoluta.

Se dice que la serie

P

an es absolutamente convergente si la serie

P

|an| es convergente.

Toda serie absolutamente convergente es convergente.

Si una serie es absolutamente convergente, entonces cualquier reordenaci´on suya tambi´en lo es y tiene el mismo valor.

Se dice que una serie es condicionalmente convergente si es convergente, pero no

absolutamente convergente.

3. Propiedades.

• El car´acter (convergente o divergente) de una serie no cambia si se modifica un

n´umero finito de sus t´erminos.

• Para que la serie

P

an converja es necesario que lim an = 0.

• Si las series

P

an y

P

bn convergen, entonces:

P

an + bn y

P

λan, con λ ∈ R,

tambi´en, teni´endose:

X

(an + bn) =

X

an +

X

bn y

X

λan = λ

X

an.

4. Series geom´etricas y arm´onicas.

• Las series geom´etricas

P

r

n

convergen si |r| < 1 y divergen en caso contrario.

• Las series arm´onicas

P 1

nα

convergen si α > 1 y divergen en caso contrario.

5. Criterios de convergencia para series de t´erminos positivos.

• de comparaci´on:

Si a partir de un cierto lugar an ≤ k bn (resp. an ≥ k bn) y

P

bn converge (resp.

diverge), entonces

P

an tambi´en.

Si lim

an

bn

∈ R \ {0}, entonces

P

an y

P

bn tienen el mismo car´acter.

• del cociente:

Si lim

an+1

an

< 1 (resp. > 1), entonces

P

an converge (resp. diverge).

Typeset by AMS-TEX

12

• de Raabe (cuando lim

an+1

an

= 1):

Si lim n

1 −

an+1

an

> 1 (resp. < 1), entonces

P

an converge (resp. diverge).

• de la ra´ız:

Si lim n

√

an

< 1 (resp. > 1), entonces

P

an converge (resp. diverge).

• de condensaci´on:

Si {an} es decreciente, entonces

P

an y

P

2

n

a2n tienen el mismo car´acter.

6. Series alternadas.

Son las de la forma

P

(−1)

n

an o

P

(−1)

n+1

an, donde an > 0 ∀n ∈ N.

Criterio de Leibnitz: ”Si {an} es una sucesi´on decreciente y tiende a 0, entonces la

serie alternada converge”.

Adem´as, si s es el valor de una serie alternada y sn su n-´esima suma parcial, entonces:

|s − sn| ≤ an+1.

4.3.- serie de potencias

Definición

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:
http://upload.wikimedia.org/math/3/5/4/3544568cd59d64eb4cf3a9db6a049a5a.png

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:
http://upload.wikimedia.org/math/9/5/4/95423a77cd9eefe02337c916df37dde2.png

En el cual el centro es c, y los coeficientes an son los términos de una sucesion.

Ejemplos:

La serie geométrica:
http://upload.wikimedia.org/math/d/4/f/d4f70d3ca5016b9df8ec18268fc2a4b7.png

es una serie de potencias absolutamente convergente si | x | < 1 y divergente si | x | > 1 ó | x | = 1


La serie de potencias:
http://upload.wikimedia.org/math/1/5/3/15347bc9ef25f8874a0a52ca60a81271.pnges
absolutamente convergente para todo

La serie de potencias:
http://upload.wikimedia.org/math/6/9/9/699cdfcbdf8d1aa19e3ae485987319ef.png
solamente converge para x = 0

4.4.-Radio de convergencia

Definición
Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma , con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r =

Ejemplos
Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.

Radio de convergencia finito
La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:

.

(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

.

(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

.

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

Radio de convergencia infinito

Por ejempo, la función ex puede desarrollarse en series de potencia de x − 0 = x, de hecho .

y esto vale para todo real x por eso el radio de convergencia será infinito.

4.5 Series de taylor

En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r).

sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1,3, 5, 7, 9, 11 y 13.

La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).

Aquí, n! es el factorial de n y f ⁽ⁿ⁾(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.